Convergência uniforme: Informações, fotos e vídeos

Em matemática, em particular na análise funcional, a convergência uniforme é um conceito mais forte que a convergência pontual, para definir se o limite de uma sequência de funções existe.

Definição

Como comparação, uma sequência de funções

f

n

(
x
)
:
S
→

R

{\displaystyle f_{n}(x):S\rightarrow \mathbb {R} \,}

converge pontualmente para uma função

f
:
S
→

R

{\displaystyle f:S\rightarrow \mathbb {R} \,}

se, e somente se:

A sequência converge uniformemente quando:

Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada

ε

{\displaystyle \varepsilon \,}

e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada

ε

{\displaystyle \varepsilon \,}

um N que se aplica a todo x.

É fácil ver que a convergência uniforme é equivalente à convergência na norma do supremo. Mais precisamente, consideremos o conjunto das funções

ϕ
:
S
→

R

{\textstyle \phi :S\rightarrow \mathbb {R} \,}

que são limitadas, que designaremos por

B
(
S
,

R

)

{\textstyle {\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})}

. Munido das operações de soma de funções e de produto de um escalar real por uma função, este conjunto torna-se num espaço vetorial real (que é, aliás, subespaço do espaço vetorial das funções reais

F

(
S
,

R
)

{\displaystyle {\mathcal {F}}(S,\mathbb {R)} }

). Através da relação

‖
ϕ

‖

∞

=
sup
{

|

ϕ
(
x
)

|

:
x
∈
S
}

{\displaystyle \lVert \phi \rVert _{\infty }=\sup\{|\phi (x)|:x\in S\}}

definimos uma aplicação

ϕ
↦
‖
ϕ
‖

{\displaystyle \phi \mapsto \lVert \phi \rVert }

de

B
(
S
,

R

)

{\displaystyle {\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})}

em

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

que constitui uma norma em

B
(
S
,

R

)

{\displaystyle {\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})}

e que é chamada norma do supremo. É conhecido que para esta norma,

B
(
S
,

R

)

{\displaystyle {\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})}

é um espaço de Banach (p.170).

De notar que se

f

n

{\displaystyle f_{n}}

é uma sucessão de funções em

B
(
S
,

R

)

{\displaystyle {\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})}

que converge uniformemente para

f

{\displaystyle f}

, então também

f
∈

B
(
S
,

R

)

{\displaystyle f\in {\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})}

. Basta ter em conta que para cada

x
∈
S

{\displaystyle x\in S}

e cada

k
∈

N

{\displaystyle k\in \mathbb {N} }

,

|

f
(
x
)

|

⩽

|

f
(
x
)
−

f

k

(
x
)

|

+

|

f

k

(
x
)

|

{\textstyle |f(x)|\leqslant |f(x)-f_{k}(x)|+|f_{k}(x)|}

. Fixando

k

{\displaystyle k}

arbitrariamente, resulta então, para qualquer

x
∈
S

{\displaystyle x\in S}

que

|

f
(
x
)

|

⩽
‖
f
−

f

k

‖

∞

+
‖

f

k

‖

∞

{\textstyle |f(x)|\leqslant \lVert f-f_{k}\rVert _{\infty }+\lVert f_{k}\rVert _{\infty }}

. Logo

f

{\displaystyle f}

é limitada em

S

{\displaystyle S}

.

Continuidade

Tomemos agora

S

{\displaystyle S}

, não como um simples conjunto mas como um espaço topológico qualquer.

Se

S

{\displaystyle S}

for um espaço métrico compacto, como por exemplo um intervalo limitado e fechado

{\displaystyle }

, uma relação mais específica entre continuidade e convergência uniforme foi estabelecida por Ulisse Dini no teorema seguinte o qual é apresentado com maior detalhe por E. L. Lima em (p.211).

Teorema (de Dini)

Se

f

n

:
S
→

R

{\displaystyle f_{n}:S\rightarrow \mathbb {R} }

uma sucessão de funções contínuas em

S

{\displaystyle S}

que em cada ponto de

x
∈
S

{\displaystyle x\in S}

cresce (ou decresce) para

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

e

f

{\displaystyle f}

é também contínua em

S

{\displaystyle S}

, então

f

n

{\displaystyle f_{n}}

converge unformemente para

f

{\displaystyle f}

em

S

{\displaystyle S}

.

Para o caso de ser

S
=

{\displaystyle S=}

, uma demonstração diferente é apresentada D. G. Figueiredo.

Fonte e artigo completo: Wikipedia (CC-BY)